Пусть дана функция f , которая в некоторой точке x 0 имеет конечную производную f (x 0). Тогда прямая, проходящая через точку (x 0 ; f (x 0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x 0), называется касательной.
А что будет, если производная в точке x 0 не существует? Возможны два варианта:
Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b , где k - угловой коэффициент. Касательная - не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x 0 , достаточно знать значение функции и производной в этой точке.
Итак, пусть дана функция y = f (x ), которая имеет производную y = f ’(x ) на отрезке . Тогда в любой точке x 0 ∈ (a ; b ) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:
y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0)
Здесь f ’(x 0) - значение производной в точке x 0 , а f (x 0) - значение самой функции.
Задача. Дана функция y = x 3 . Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x 0 = 2.
Уравнение касательной: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Точка x 0 = 2 нам дана, а вот значения f (x 0) и f ’(x 0) придется вычислять.
Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f
(x
0) = f
(2) = 2 3 = 8;
Теперь найдем производную: f
’(x
) = (x
3)’ = 3x
2 ;
Подставляем в производную x
0 = 2: f
’(x
0) = f
’(2) = 3 · 2 2 = 12;
Итого получаем: y
= 12 · (x
− 2) + 8 = 12x
− 24 + 8 = 12x
− 16.
Это и есть уравнение касательной.
Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x ) = 2sin x + 5 в точке x 0 = π /2.
В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие - укажем лишь ключевые шаги. Имеем:
f
(x
0) = f
(π
/2) = 2sin (π
/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f
’(x
) = (2sin x
+ 5)’ = 2cos x
;
f
’(x
0) = f
’(π
/2) = 2cos (π
/2) = 0;
Уравнение касательной:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет - просто мы наткнулись на точку экстремума.
Показывающая связь знака производной с характером монотонности функции.
Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции или ее производной
Если дан график производной , то интересовать нас будут только знаки функции и нули. Никакие «холмики» и «впадины» не интересуют нас в принципе!
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Решение:
На рисунке выделены цветом области убывания функции :
В эти области убывания функции попадает 4 целые значения .
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.
Решение:
Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой (или, что тоже самое, ), имеющей угловой коэффициент , равный нулю, то и касательная имеет угловой коэффициент .
Это в свою очередь означает, что касательная параллельна оси , так как угловой коэффициент есть тангенс угла наклона касательной к оси .
Поэтому мы находим на графике точки экстремума (точки максимума и минимума), – именно в них касательные к графику функции будут параллельны оси .
Таких точек – 4.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.
Решение:
Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой , имеющей угловой коэффициент , то и касательная имеет угловой коэффициент .
Это в свою очередь означает, что в точках касания.
Поэтому смотрим, сколько точек на графике имеют ординату , равную .
Как видим, таких точек – четыре.
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.
Решение:
Производная равна нулю в точках экстремума. У нас их 4:
На рисунке изображён график функции и одиннадцать точек на оси абсцисс:. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Решение:
На промежутках убывания функции её производная принимает отрицательные значения. А убывает функция в точках. Таких точек 4.
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .
Решение:
Точки экстремума – это точки максимума (-3, -1, 1) и точки минимума (-2, 0, 3).
Сумма точек экстремума: -3-1+1-2+0+3=-2.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение:
На рисунке выделены промежутки, на которых производная функции неотрицательная.
На малом промежутке возрастания целых точек нет, на промежутке возрастания четыре целых значения : , , и .
Их сумма:
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение:
На рисунке выделены цветом все промежутки, на которых производная положительна, а значит сама функция возрастает на этих промежутках.
Длина наибольшего из них – 6.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.
Решение:
Смотрим как ведет себя график на отрезке , а именно нас интересует только знак производной .
Знак производной на – минус, так как график на этом отрезке ниже оси .
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Уравнение касательной к графику функции
П. Романов, Т. Романова,
г. Магнитогорск,
Челябинская обл.
Статья опубликована при поддержке Гостиничного комплекса «ИТАКА+». Останавливаясь в городе судостроителей Северодвинске, вы не столкнетесь с проблемой поиска временного жилья. , на сайте гостиничного комплекса «ИТАКА+» http://itakaplus.ru, вы сможете легко и быстро снять квартиру в городе, на любой срок, с посуточной оплатой.
На современном этапе развития образования в качестве одной из основных его задач выступает формирование творчески мыслящей личности. Способность же к творчеству у учащихся может быть развита лишь при условии систематического привлечения их к основам исследовательской деятельности. Фундаментом для применения учащимися своих творческих сил, способностей и дарований являются сформированные полноценные знания и умения. В связи с этим проблема формирования системы базовых знаний и умений по каждой теме школьного курса математики имеет немаловажное значение. При этом полноценные умения должны являться дидактической целью не отдельных задач, а тщательно продуманной их системы. В самом широком смысле под системой понимается совокупность взаимосвязанных взаимодействующих элементов, обладающая целостностью и устойчивой структурой.
Рассмотрим методику обучения учащихся составлению уравнения касательной к графику функции. По существу, все задачи на отыскание уравнения касательной сводятся к необходимости отбора из множества (пучка, семейства) прямых тех из них, которые удовлетворяют определенному требованию – являются касательными к графику некоторой функции. При этом множество прямых, из которого осуществляется отбор, может быть задано двумя способами:
а) точкой, лежащей на плоскости xOy (центральный пучок прямых);
б) угловым коэффициентом (параллельный пучок прямых).
В связи с этим при изучении темы «Касательная к графику функции» с целью вычленения элементов системы нами были выделены два типа задач:
1) задачи на касательную, заданную точкой, через которую она проходит;
2) задачи на касательную, заданную ее угловым коэффициентом.
Обучение решению задач на касательную осуществлялось при помощи алгоритма, предложенного А.Г. Мордковичем . Его принципиальное отличие от уже известных заключается в том, что абсцисса точки касания обозначается буквой a (вместо x0), в связи с чем уравнение касательной приобретает вид
y = f(a) + f "(a)(x – a)
(сравните с y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Этот методический прием, на наш взгляд, позволяет учащимся быстрее и легче осознать, где в общем уравнении касательной записаны координаты текущей точки, а где – точки касания.
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)
1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания.
2. Найти f(a).
3. Найти f "(x) и f "(a).
4. Подставить найденные числа a, f(a), f "(a) в общее уравнение касательной y = f(a) = f "(a)(x – a).
Этот алгоритм может быть составлен на основе самостоятельного выделения учащимися операций и последовательности их выполнения.
Практика показала, что последовательное решение каждой из ключевых задач при помощи алгоритма позволяет формировать умения написания уравнения касательной к графику функции поэтапно, а шаги алгоритма служат опорными пунктами действий. Данный подход соответствует теории поэтапного формирования умственных действий, разработанной П.Я. Гальпериным и Н.Ф. Талызиной .
В первом типе задач были выделены две ключевые задачи:
Задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 2).
Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как
1. a = 3 – абсцисса точки касания.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной.
Задача 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x 2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).
Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) 6 (рис. 2).
2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.
Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.
6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.
Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.
Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.
Во втором типе ключевыми задачами будут следующие:
Задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x 3 – 3x 2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.
Решение.
1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.
Но, с другой стороны, f "(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a 2 – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3).
4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);
y = 9x + 8 – уравнение касательной;
1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);
y = 9x – 24 – уравнение касательной.
Задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x 2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).
Решение. Из условия f "(a) = tg 45° найдем a: a – 3 = 1 ^ a = 4.
1. a = 4 – абсцисса точки касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).
y = x – 7 – уравнение касательной.
Несложно показать, что решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим в качестве примера следующие две задачи.
1. Напишите уравнения касательных к параболе y = 2x 2 – 5x – 2, если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой 3 (рис. 5).
Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1.
1. a = 3 – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение первой касательной.
Пусть a – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем
Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен .
Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3.
Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда
1. – абсцисса второй точки касания.
2.
3.
4.
– уравнение второй касательной.
Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых k 1 k 2 = – 1.
2. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций
Решение. Задача сводится к отысканию абсцисс точек касания общих касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в общем виде, составлению системы уравнений и последующему ее решению (рис. 6).
1. Пусть a – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .
1. Пусть c – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции
2.
3. f "(c) = c.
4.
Так как касательные общие, то
Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3 – общие касательные.
Основная цель рассмотренных задач – подготовить учащихся к самостоятельному распознаванию типа ключевой задачи при решении более сложных задач, требующих определенных исследовательских умений (умения анализировать, сравнивать, обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу таких задач можно отнести любую задачу, в которую ключевая задача входит как составляющая. Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную задаче 1) на нахождение функции по семейству ее касательных.
3. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику функции y = x 2 + bx + c?
Решение.
Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x 2 + bx + c; p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x 2 + bx + c. Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t 2 , а уравнение касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p 2 .
Составим и решим систему уравнений
Ответ:
Задачи для самостоятельного решения
1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x 2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3.
Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.
2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x 2 – ax в точке графика с абсциссой x 0 = 1, проходит через точку M(2; 3)?
Ответ: a = 0,5.
3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x 2 – 4x – 2?
Ответ: p 1 = – 10, p 2 = 2.
4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x 3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16).
Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).
5. Найдите кратчайшее расстояние между параболой y = x 2 + 6x + 10 и прямой
Ответ:
6. На кривой y = x 2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0.
Ответ: M(2; 3).
7. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x 2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж.
Ответ: y = 2x – 4.
8. Докажите, что прямая y = 2x – 1 не пересекает кривую y = x 4 + 3x 2 + 2x. Найдите расстояние между их ближайшими точками.
Ответ:
9. На параболе y = x 2 взяты две точки с абсциссами x 1 = 1, x 2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной.
Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.
10. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.
Ответ: q = 45°.
11. В каких точках касательная к графику функции образует с осью Ox угол в 135°?
Ответ: A(0; – 1), B(4; 3).
12. В точке A(1; 8) к кривой проведена касательная. Найдите длину отрезка касательной, заключенного между осями координат.
Ответ:
13. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x 2 – x + 1 и y = 2x 2 – x + 0,5.
Ответ: y = – 3x и y = x.
14. Найдите расстояние между касательными к графику функции параллельными оси абсцисс.
Ответ:
15. Определите, под какими углами парабола y = x 2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс.
Ответ: q 1 = arctg 6, q 2 = arctg (– 6).
16. На графике функции найдите все точки, касательная в каждой из которых к этому графику пересекает положительные полуоси координат, отсекая от них равные отрезки.
Ответ: A(– 3; 11).
17. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x 2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N.
Ответ: K(1; – 9).
18. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x 3 – 3x + 15?
Ответ: – 1; 31.
19. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x 2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки.
Ответ: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).
20. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx 3 – 2x 2 – 4 в точке с абсциссой x 0 = 2, проходит через точку M(1; 8)?
Ответ: b = – 3.
21. Парабола с вершиной на оси Ox касается прямой, проходящей через точки A(1; 2) и B(2; 4), в точке B. Найдите уравнение параболы.
Ответ:
22. При каком значении коэффициента k парабола y = x 2 + kx + 1 касается оси Ox?
Ответ: k = д 2.
23. Найдите углы между прямой y = x + 2 и кривой y = 2x 2 + 4x – 3.
29. Найдите расстояние между касательными к графику функции образующими с положительным направлением оси Ox угол 45°.
Ответ:
30. Найдите геометрическое место вершин всех парабол вида y = x 2 + ax + b, касающихся прямой y = 4x – 1.
Ответ: прямая y = 4x + 3.
Литература
1. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа: 3600 задач для школьников и поступающих в вузы. – М., Дрофа, 1999.
2. Мордкович А. Семинар четвертый для молодых учителей. Тема «Приложения производной». – М., «Математика», № 21/94.
3. Формирование знаний и умений на основе теории поэтапного усвоения умственных действий. / Под ред. П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной. – М., МГУ, 1968.
На современном этапе развития образования в качестве одной из основных его задач выступает формирование творчески мыслящей личности. Способность же к творчеству у учащихся может быть развита лишь при условии систематического привлечения их к основам исследовательской деятельности. Фундаментом для применения учащимися своих творческих сил, способностей и дарований являются сформированные полноценные знания и умения. В связи с этим проблема формирования системы базовых знаний и умений по каждой теме школьного курса математики имеет немаловажное значение. При этом полноценные умения должны являться дидактической целью не отдельных задач, а тщательно продуманной их системы. В самом широком смысле под системой понимается совокупность взаимосвязанных взаимодействующих элементов, обладающая целостностью и устойчивой структурой.
Рассмотрим методику обучения учащихся составлению уравнения касательной к графику функции. По существу, все задачи на отыскание уравнения касательной сводятся к необходимости отбора из множества (пучка, семейства) прямых тех из них, которые удовлетворяют определенному требованию – являются касательными к графику некоторой функции. При этом множество прямых, из которого осуществляется отбор, может быть задано двумя способами:
а) точкой, лежащей на плоскости xOy (центральный пучок прямых);
б) угловым коэффициентом (параллельный пучок прямых).
В связи с этим при изучении темы «Касательная к графику функции» с целью вычленения элементов системы нами были выделены два типа задач:
1) задачи на касательную, заданную точкой, через которую она проходит;
2) задачи на касательную, заданную ее угловым коэффициентом.
Обучение решению задач на касательную осуществлялось при помощи алгоритма, предложенного А.Г. Мордковичем . Его принципиальное отличие от уже известных заключается в том, что абсцисса точки касания обозначается буквой a (вместо x0), в связи с чем уравнение касательной приобретает вид
y = f(a) + f "(a)(x – a)
(сравните с y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Этот методический прием, на наш взгляд, позволяет учащимся быстрее и легче осознать, где в общем уравнении касательной записаны координаты текущей точки, а где – точки касания.
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)
1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания.
2. Найти f(a).
3. Найти f "(x) и f "(a).
4. Подставить найденные числа a, f(a), f "(a) в общее уравнение касательной y = f(a) = f "(a)(x – a).
Этот алгоритм может быть составлен на основе самостоятельного выделения учащимися операций и последовательности их выполнения.
Практика показала, что последовательное решение каждой из ключевых задач при помощи алгоритма позволяет формировать умения написания уравнения касательной к графику функции поэтапно, а шаги алгоритма служат опорными пунктами действий. Данный подход соответствует теории поэтапного формирования умственных действий, разработанной П.Я. Гальпериным и Н.Ф. Талызиной .
В первом типе задач были выделены две ключевые задачи:
Задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 2).
Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как
1. a = 3 – абсцисса точки касания.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной.
Задача 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x 2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).
Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) 6 (рис. 2).
2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.
Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.
6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.
Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.
Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.
Во втором типе ключевыми задачами будут следующие:
Задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x 3 – 3x 2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.
1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.
Но, с другой стороны, f "(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a 2 – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3).
4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);
y = 9x + 8 – уравнение касательной;
1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);
y = 9x – 24 – уравнение касательной.
Задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x 2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).
Решение. Из условия f "(a) = tg 45° найдем a: a – 3 = 1 ^ a = 4.
1. a = 4 – абсцисса точки касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).
y = x – 7 – уравнение касательной.
Несложно показать, что решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим в качестве примера следующие две задачи.
1. Напишите уравнения касательных к параболе y = 2x 2 – 5x – 2, если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой 3 (рис. 5).
Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1.
1. a = 3 – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение первой касательной.
Пусть a – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем
Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен .
Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3.
Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда
1. – абсцисса второй точки касания.
2.
3.
4.
– уравнение второй касательной.
Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых k 1 k 2 = – 1.
2. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций
Решение. Задача сводится к отысканию абсцисс точек касания общих касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в общем виде, составлению системы уравнений и последующему ее решению (рис. 6).
1. Пусть a – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .
1. Пусть c – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции
2.
3. f "(c) = c.
4.
Так как касательные общие, то
Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3 – общие касательные.
Основная цель рассмотренных задач – подготовить учащихся к самостоятельному распознаванию типа ключевой задачи при решении более сложных задач, требующих определенных исследовательских умений (умения анализировать, сравнивать, обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу таких задач можно отнести любую задачу, в которую ключевая задача входит как составляющая. Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную задаче 1) на нахождение функции по семейству ее касательных.
3. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику функции y = x 2 + bx + c?
Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x 2 + bx + c; p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x 2 + bx + c. Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t 2 , а уравнение касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p 2 .
Составим и решим систему уравнений
Ответ:
rf-gk.ru - Портал для мам. Воспитание. Законы. Здоровье. Развитие. Семья. Беременность