Пирамида все формулы и свойства. Пирамида и ее элементы

Данный видеоурок поможет пользователям получить представление о теме Пирамида. Правильная пирамида. На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение. Рассмотрим, что такое правильная пирамида и какими свойствами она обладает. Затем докажем теорему о боковой поверхности правильной пирамиды.

На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение.

Рассмотрим многоугольник А 1 А 2 ...А n , который лежит в плоскости α, и точку P , которая не лежит в плоскости α (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А 1 , А 2 , А 3 , … А n . Получим n треугольников: А 1 А 2 Р , А 2 А 3 Р и так далее.

Определение . Многогранник РА 1 А 2 …А n , составленный из n -угольника А 1 А 2 ...А n и n треугольников РА 1 А 2 , РА 2 А 3 …РА n А n -1 , называется n -угольной пирамидой. Рис. 1.

Рис. 1

Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).

Р - вершина пирамиды.

ABCD - основание пирамиды.

РА - боковое ребро.

АВ - ребро основания.

Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD . Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.

Рис. 2

Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:

S полн = S бок + S осн

Пирамида называется правильной, если:

• ее основание - правильный многоугольник;
• отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).

Р - вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD - правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О , точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО - это высота пирамиды.

Рис. 3

Пояснение : в правильном n -угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается h а .

1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;

2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Доказательство этих свойств приведем на примере правильной четырехугольной пирамиды.

Дано : РАВСD - правильная четырехугольная пирамида,

АВСD - квадрат,

РО - высота пирамиды.

Доказать :

1. РА = РВ = РС = РD

2. ∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP См. Рис. 4.

Рис. 4

Доказательство .

РО - высота пирамиды. То есть, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямым АО, ВО, СО и DО , лежащим в ней. Значит, треугольники РОА, РОВ, РОС, РОD - прямоугольные.

Рассмотрим квадрат АВСD . Из свойств квадрата следует, что АО = ВО = СО = DО.

Тогда у прямоугольных треугольников РОА, РОВ, РОС, РОD катет РО - общий и катеты АО, ВО, СО и DО равны, значит, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство отрезков, РА = РВ = РС = РD. Пункт 1 доказан.

Отрезки АВ и ВС равны, так как являются сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС . Значит, треугольники АВР и ВCР - равнобедренные и равны по трем сторонам.

Аналогичным образом получаем, что треугольники АВР, ВCР, СDР, DAP равнобедренны и равны, что и требовалось доказать в пункте 2.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.

Дано : РАВС - правильная треугольная пирамида.

АВ = ВС = АС.

РО - высота.

Доказать : . См. Рис. 5.

Рис. 5

Доказательство.

РАВС - правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС . Пусть О - центр треугольника АВС , тогда РО - это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС . Заметим, что .

Треугольники РАВ, РВC, РСА - равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА . Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

S бок = 3S РАВ

Теорема доказана.

Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано : правильная четырехугольная пирамида АВСD ,

АВСD - квадрат,

r = 3 м,

РО - высота пирамиды,

РО = 4 м.

Найти : S бок. См. Рис. 6.

Рис. 6

Решение .

По доказанной теореме, .

Найдем сначала сторону основания АВ . Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.

Тогда, м.

Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:

Рассмотрим треугольник BCD . Пусть М - середина стороны DC . Так как О - середина BD , то (м).

Треугольник DPC - равнобедренный. М - середина DC . То есть, РМ - медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC . Тогда РМ - апофема пирамиды.

РО - высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямой ОМ , лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ .

Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:

Ответ : 60 м 2 .

Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен м. Площадь боковой поверхности равна 18 м 2 . Найдите длину апофемы.

Дано : АВСP - правильная треугольная пирамиды,

АВ = ВС = СА,

R = м,

S бок = 18 м 2 .

Найти : . См. Рис. 7.

Рис. 7

Решение .

В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.

Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр.

По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где h а - апофема пирамиды. Тогда:

Ответ : 4 м.

Итак, мы рассмотрели, что такое пирамида, что такое правильная пирамида, доказали теорему о боковой поверхности правильной пирамиды. На следующем уроке мы познакомимся с усечённой пирамидой.

Список литературы

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с.: ил.

1. Интернет портал «Якласс» ()
2. Интернет портал «Фестиваль педагогических идей «Первое сентября» ()
3. Интернет портал «Slideshare.net» ()

Домашнее задание

1. Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?
2. Докажите, что непересекающиеся ребра правильной пирамиды перпендикулярны.
3. Найдите величину двугранного угла при стороне основания правильной четырехугольной пирамиды, если апофема пирамиды равна стороне ее основания.
4. РАВС - правильная треугольная пирамида. Постройте линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.

Пирамида — это многогранник , у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды . Пирамида называется треугольной, четырехугольной, и т.д., если основанием пирамиды является треугольник, четырехугольник и т.д. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр. Четырехугольная — пятигранник и т.д.

Пирамида , Усеченная Пирамида

Правильная пирамида

Если основание пирамиды — правильный многоугольник , а высота опускается в центр основания, то — пирамида правильная. В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Высота треугольника боковой грани правильной пирамиды называется — апофема правильной пирамиды .

Усеченная пирамида

Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Часть пирамиды между ее основанием и этим сечением — это усеченная пирамида . Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований. Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды. Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена, была правильной. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — это равные равнобокие трапеции. Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды называется — апофема правильной усеченной пирамиды .

Введение

Когда мы начали изучать стереометрические фигуры мы затронули тему «Пирамида». Нам понравилась это тема, потому что пирамида очень часто употребляется в архитектуре. И так как наша будущая профессия архитектора, вдохновившись этой фигурой, мы думаем, что она сможет подтолкнуть нас к отличным проектам.

Прочность архитектурных сооружений, важнейшее их качество. Связывая прочность, во-первых, с теми материалами, из которых они созданы, а, во-вторых, с особенностями конструктивных решений, оказывается, прочность сооружения напрямую связана с той геометрической формой, которая является для него базовой.

Другими словами, речь идет о той геометрической фигуре, которая может рассматриваться как модель соответствующей архитектурной формы. Оказывается, что геометрическая форма также определяет прочность архитектурного сооружения.

Самым прочным архитектурным сооружением с давних времен считаются египетские пирамиды. Как известно они имеют форму правильных четырехугольных пирамид.

Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания. С другой стороны, форма пирамиды обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей. Именно эти два свойства делают пирамиду устойчивой, а значит и прочной в условиях земного тяготения.

Цель проекта : узнать что-то новое о пирамидах, углубить знания и найти практическое применение.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:

· Узнать исторические сведения о пирамиде

· Рассмотреть пирамиду, как геометрическую фигуру

· Найти применение в жизни и архитектуре

· Найти сходство и различие пирамид, расположенных в разных частях света

Теоретическая часть

Исторические сведения

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит, а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

Усыпальницы египетских фараонов. Крупнейшие из них - пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина в Эль-Гизе в древности считались одним из Семи чудес света. Возведение пирамиды, в котором уже греки и римляне видели памятник невиданной гордыни царей и жестокости, обрекшей весь народ Египта на бессмысленное строительство, было важнейшим культовым деянием и должно было выражать, по всей видимости, мистическое тождество страны и ее правителя. Население страны работало на строительстве гробницы в свободную от сельскохозяйственных работ часть года. Ряд текстов свидетельствует о том внимании и заботе, которые сами цари (правда, более позднего времени) уделяли возведению своей гробницы и ее строителям. Известно также об особых культовых почестях, которые оказывались самой пирамиде.

Основные понятия

Пирамидой называется многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины;

Боковые грани - треугольники, сходящиеся в вершине;

Боковые ребра - общие стороны боковых граней;

Вершина пирамиды - точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

Высота - отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);

Диагональное сечение пирамиды - сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

Основание - многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Основные свойства правильной пирамиды

Боковые ребра, боковые грани и апофемы соответственно равны.

Двугранные углы при основании равны.

Двугранные углы при боковых ребрах равны.

Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания.

Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней.

Основные формулы пирамиды

Площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Площадью боковой поверхности пирамиды (полной и усечённой) называется сумма площадей всех ее боковых граней, площадью полной поверхности – сумма площадей всех ее граней.

Теорема: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

p - периметр основания;

h - апофема.

Площадь боковой и полной поверхностей усеченной пирамиды.

p 1 , p 2 - периметры оснований;

h - апофема.

Р - площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды;

S бок - площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды;

S 1 + S 2 - площади основания

Объем пирамиды

Формула объёма используется для пирамид любого вида.

H - высота пирамиды.

Углы пирамиды

Углы, которые образованы боковой гранью и основанием пирамиды, называются двугранными углами при основании пирамиды.

Двугранный угол образуется двумя перпендикулярами.

Чтобы определить этот угол, часто нужно использовать теорему о трёх перпендикулярах .

Углы, которые образованы боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, называются углами между боковым ребром и плоскостью основания .

Угол, который образован двумя боковыми гранями, называется двугранным углом при боковом ребре пирамиды.

Угол, который образован двумя боковыми рёбрами одной грани пирамиды, называется углом при вершине пирамиды .

Сечения пирамиды

Поверхность пирамиды – это поверхность многогранника. Каждая ее грань представляет собой плоскость, поэтому сечение пирамиды, заданной секущей плоскостью – это ломаная линия, состоящая из отдельных прямых.

Диагональное сечение

Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не лежащих на одной грани, называется диагональным сечением пирамиды.

Параллельные сечения

Теорема :

Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то боковые ребра и высоты пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части;

Сечением этой плоскости является многоугольник, подобный основанию;

Площади сечения и основания относятся друг к другу как квадраты их расстояний от вершины.

Виды пирамиды

Правильная пирамида – пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, и вершина пирамиды проектируется в центр основания.

У правильной пирамиды:

1. боковые ребра равны

2. боковые грани равны

3. апофемы равны

4. двугранные углы при основании равны

5. двугранные углы при боковых ребрах равны

6. каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания

7. каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней

Усеченная пирамида – часть пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Основание и соответствующие сечение усеченной пирамиды называются основаниями усеченной пирамиды .

Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания на плоскость другого, называется высотой усеченной пирамиды.

Задачи

№1. В правильной четырехугольной пирамиде точка О – центр основания, SO=8 cм, BD=30 см. Найдите боковое ребро SA.

Решение задач

№1. В правильной пирамиде все грани и ребра равны.

Рассмотрим OSB: OSB-прямоугольный прямоугольник, т. к.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB 2 =64+225=289

Пирамида в архитектуре

Пирамида - монументальное сооружение в форме обычной правильной геометрической пирамиды, в которой боковые стороны сходятся в одной точке. По функциональному назначению пирамиды в древности были местом захоронения или поклонения культу. Основа пирамиды может быть треугольной, четырехугольной или в форме многоугольника с произвольным числом вершин, но наиболее распространенной версией является четырехугольная основа.

Известно немалое количество пирамид, построенных разными культурами Древнего мира в основном в качестве храмов или монументов. К крупным пирамидам относятся египетские пирамиды.

По всей Земле можно увидеть архитектурные сооружения в виде пирамид. Здания-пирамиды напоминают о древних временах и очень красиво выглядят.

Египетские пирамиды величайшие архитектурные памятники Древнего Египта, среди которых одно из «Семи чудес света» пирамида Хеопса. От подножия до вершины она достигает 137, 3 м, а до того, как утратила верхушку, высота ее была 146, 7 м

Здание радиостанции в столице Словакии, напоминающее перевернутую пирамиду, было построено в 1983 г. Помимо офисов и служебных помещений, внутри объема находится достаточно вместительный концертный зал, который имеет один из самых больших органов в Словакии.

Лувр, который "молчит неизменно и величественно, как пирамида" на протяжении веков перенёс немало изменений прежде, чем превратиться в величайший музей мира. Он родился как крепость, воздвигнутая Филиппом Августом в 1190 г., вскоре превратившаяся в королевскую резиденцию. В 1793 г. дворец становится музеем. Коллекции обогащаются благодаря завещаниям или покупкам.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.

Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами. Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр . Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Комментарий репетитора :
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.

Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.

Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:
1) Содержащий апофему SK и высоту SP
2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PA

Чтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным , а второй реберным . К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.

Формула объема пирамиды :
1) , где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды
2) , где – радиус вписанного шара, а – площадь полной поверхности пирамиды.
3) , где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Свойство основания высоты пирамиды:

Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Комментарий репетитора по математике : обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.

Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:
1) Все боковые ребра равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте