Двоичные числа
Двоичная система счисления - это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления натуральные числа записываются с помощью всего лишь двух символов (в роли которых обычно выступают цифры 0 и 1).
Двоичная система используется в цифровых устройствах , поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:
Wikimedia Foundation . 2010 .
Двоичная система счисления - позиционная система счисления с основанием 2.
В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1).
Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Положительные целые числа (без знака) записываются в виде:
Количество записываемых кодов (чисел) зависит от основания системы кодирования - c , определяется в комбинаторике и равно числу размещений с повторениями :
Количество записываемых кодов (чисел) от основания показательной функции - b
не зависит.
Основание показательной функции - b
определяет диапазон представляемых числами x 2,b
величин и разреженность представляемых чисел на числовой оси.
Целые числа являются частными суммами степенного ряда :
в котором коэффициенты a n берутся из множества R=a{0,1} , X=2 , n=k , а верхний предел в частных суммах ограничен с до - n-1 .
Целые числа со знаком записываются в виде:
Дробные числа записываются в виде:
Следует отметить, что число может быть записано в двоичном коде , а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование, в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления - десятичная.
Таблица сложения
Таблица вычитания
Пример умножения «столбиком» (14 × 5 = 70):
Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.
Допустим, вам дано двоичное число 110001. Для перевода в десятичное просто запишите его справа налево как сумму по разрядам следующим образом:
.Можно записать это в виде таблицы следующим образом:
512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||||
+32 | +16 | +1 |
Точно так же, начиная с двоичной точки, двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа.
Таким образом, двоичное число 110001 равнозначно десятичному 49.
Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Например, двоичное число 1011011 переводится в десятичную систему так: 0*2+1
=1 >> 1*2+0
=2 >> 2*2+1
=5 >> 5*2+1
=11 >> 11*2+0
=22 >> 22*2+1
=45 >> 45*2+1
=91 То есть в десятичной системе это число будет записано как 91. Или число 101111 переводится в десятичную систему так: 0*2+1
=1 >> 1*2+0
=2 >> 2*2+1
=5 >> 5*2+1
=11 >> 11*2+1
=23 >> 23*2+1
=47 То есть в десятичной системе это число будет записано как 47. Перевод дробных чисел методом Горнера 1) 0,1101 2 =0,X 10 (рассматриваем цифры в обратном порядке)
1:2=0,5
0,5+0=0,5
0,5:2=0,25
0,25+1=1,25
1,25:2=0,625
0,625+1=1,625
1,625:2=0,8125
Ответ: 0,1101 2 = 0,8125 10
2) 0,356 8 =0,X 10 (рассматриваем цифры в обратном порядке)
6:8=0,75
0,75+5=5,75
5,75:8=0,71875
0,71875+3=3,71875
3,71875:8=0,46484375
Ответ: 0,356 8 =0,46484375 10
3) 0,A6E 16 =0,X 10 (рассматриваем цифры в обратном порядке)
14:16=0,875
0,875+6=6,875
6,875:16=0,4296875
0,4296875+10=10,4296875
10,4296875:16=0,65185546875
Ответ: 0,A6E 16 =0,65185546875 10
Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой:
19 /2 = 9 с остатком 1 9 /2 = 4 c остатком 1 4 /2 = 2 без остатка 0 2 /2 = 1 без остатка 0 1 /2 = 0 с остатком 1
Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижнее число будет самым левым и.т.д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.
Нужно перевести число 1011010,101 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:
Или по таблице:
64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0.5 | 0.25 | 0.125 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0. | .1 | 0 | 1 |
+64 | +16 | +8 | +2 | +0.5 | +0.125 |
Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:
Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.
Перевод целой части дает 206 10 =11001110 2 по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:
0,116 2 = 0,232
0,232 2 = 0,464
0,464 2 = 0,928
0,928 2 = 1,856
0,856 2 = 1,712
0,712 2 = 1,424
0,424 2 = 0,848
0,848 2 = 1,696
0,696 2 = 1,392
0,392 2 = 0,784
и т. д.
Получим: 206,116 10 =11001110,0001110110 2
Двоичная система используется в цифровых устройствах , поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:
В цифровой электронике одному двоичному разряду в двоичной системе счисления соответствует (очевидно) один двоичный разряд двоичного регистра , то есть двоичный триггер с двумя состояниями (0,1).
При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 7 15 / 16 ″, 3 11 / 32 ″ и т. д.
Степень | Значение |
---|---|
0 | |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 | |
7 | |
8 | |
9 | |
10 | |
11 | |
12 | |
13 | 8192 |
14 | 16384 |
15 | 32768 |
16 | |
17 | 131072 |
18 | 262144 |
19 | 524288 |
20 | 1048576 |
21 | 2097152 |
22 | 4194304 |
23 | 8388608 |
24 | |
25 | 33554432 |
26 | 67108864 |
27 | 134217728 |
28 | 268435456 |
29 | 536870912 |
30 | 1073741824 |
31 | 2147483648 |
32 | 4294967296 |
33 | 8589934592 |
34 | 17179869184 |
35 | 34359738368 |
36 | 68719476736 |
37 | 137438953472 |
38 | 274877906944 |
39 | 549755813888 |
40 | 1099511627776 |
41 | 2199023255552 |
42 | 4398046511104 |
43 | 8796093022208 |
44 | 17592186044416 |
45 | 35184372088832 |
46 | 70368744177664 |
47 | 140737488355328 |
48 | 281474976710656 |
49 | 562949953421312 |
50 | 1125899906842624 |
51 | 2251799813685248 |
Система счисления – способ представления чисел, опирающийся на некоторое число п знаков, называемых цифрами. Число, равное количеству знаков п, употребляемых для обозначения количества единиц каждого разряда, называется основанием системы счисления.
Происхождение наиболее распространенной десятичной системы связано с пальцевым счетом. Существовавшая в Древнем Вавилоне шестидесятиричная система осталась в делении часа и градуса угла на 60 минут и минут – на 60 секунд. В России до XVIII в. существовала десятичная система счисления, основанная на буквах алфавита а, в, г... с чертой над буквой (от греческих букв: альфа, бета, гамма).
Современная десятичная система основана на десяти цифрах, начертание которых 0, 1, 2, ..., 9 сформировалось в Индии к V в. н.э. и пришло в Европу с арабскими рукописями ("арабские цифры"). Двоичная система использует две цифры: 0 и 1. Шестнадцатиричная система использует 16 символов: 0, 1, 2, ..., 29, А, В, С, D, E, F. Эти системы счисления называются позиционными , так как значение каждой цифры числа определяется по ее месту (позиции, разряду) в ряду чисел, составляющих данное число. Позиция отсчитывается справа налево; так, в десятичной системе: нулевой разряд – разряд единиц, первый разряд – разряд десятков, второй разряд – разряд сотен, потом тысячи и т.д.
В непозиционных системах счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе.
Например, 1 – I, 2 – II, 5 – IIIII.
Римская система счисления (I, II, III, IV, V) является смешанной, так как значение каждой цифры частично зависит от ее места (позиции) в числе. Например, IV – это 4 = 5-1, а VI – это 6 = 5 + 1.
В десятичной системе каждый разряд может показать одно из 10 значений (цифру 0, 1, 2, ..., 9). Чтобы в десятичной системе записать следующее за девяткой число, добавляют слева новый разряд и ставят в его позицию цифру 1, после нее ноль и получается 10, т.е. десять. Два разряда в десятичной системе позволяют записать сто чисел: от 0 до 99, потом придется дописывать новый разряд для числа 100.
Цифры десятичного числа определяют число по основанию системы счисления и по нумерации разрядов с помощью, например, такой формулы: 256 = 2 102 + 5 101 + 6 100, где значение цифры умножается на 10 в степени "разряд цифры". В числе 256 цифра 2 стоит во втором разряде и означает две сотни, поэтому умножается на 102; цифра 5 стоит в первом разряде, означает 5 десятков и умножается на 101; цифра 6 стоит в нулевом разряде и умножается на 1, т.е. на 100.
В двоичной системе числом в один разряд можно записать только два значения: 0 или 1, и все – возможности разряда кончились. Два разряда в двоичном числе позволяют записать четыре разных числа, а три разряда – восемь чисел. Увеличивая разрядность цифр в числе до N разрядов, можно в двоичной системе описать 2 х разных чисел, сосчитать 2 х объектов.
Пусть в системе счисления с основанием р записано четырехзначное число х , цифры в котором обозначим знаками с индексом внизу α 3α 2α 1α 0. Здесь а 0 – знак (цифра) для нулевого разряда, a 1 – для первого разряда и т.д.
Число можно представить выражением
х = а 3 р 3 + а 2 р 2 + а 1 р 1 + а 0 р 0.
Сравним запись десятичного числа 1946 = 1 103 + 9 102 + 4 101 + 6 100 и двоичного 1010 = 1 23 + 0 22 + 1 21 + 0 20. Показатель степени, в которую необходимо возвести основание р исходной системы счисления, совпадает с номером соответствующей позиции.
Так как компьютер использует двоичную систему счисления, в нем важную роль играют и часто упоминаются числа, служащие степенью числа 2, например: 8 (23), 64 (26), 128 (27), 256 (28). Самое большое 8-разрядное число с восемью двоичными единицами 11111111 = 1 27 + 1 26 + 1 25 + 1 24 + 1 23 + 1 22 + 1 21 + 1 20 равно десятичному числу 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255. Вместе с нулем получается как раз 256 целых чисел, что равно 28.
Шестнадцатиричная система – система чисел по основанию 16, использующая цифры от 0 до 9 и прописные или строчные буквы латинского алфавита от А (эквивалент десятичного числа 10) до F (эквивалент десятичного числа 15). То есть в шестнадцатиричной системе счисления знаки-цифры – 0, 1, 2, 9, А, В, С, D, E, F. Число в двоичной системе разбивается на группы по четыре двоичных знака. Одна группа дает 24 = 16 комбинаций. Десятичное число 396 в двоичной системе обозначается как 110001100, а в шестнадцатиричной системе как 18С. Соответствие десятичных, двоичных и шестнадцатиричных чисел показано в табл. 1.1.
Шестнадцатиричная система счисления применяется для обозначений адресов ячеек оперативной памяти компьютера, оттенков цвета и дает не такие длинные ряды цифр,
Таблица 1.1
Соответствие чисел: десятичные, двоичные, шестнадцатиричные
Десятичное число |
Двоичное |
Шестнадцатиричное число |
Десятичное число |
Двоичное |
Шестнадцатиричное число |
как давала бы двоичная система. Иногда после шестнадцатиричного числа пишут букву h (hexamal). Например, 321 /г соответствует десятичному 801 = 3 162 + 2 161 + 1 160, a FCh – это десятичное число 252 = 15 161 + 12 160.
Впервые позиционная система счисления возникла в древнем Вавилоне. В Индии система работает в виде
позиционной десятичной нумерации с использованием нуля, у индусов данную систему чисел
позаимствовала арабская нация, у них, в свою очередь, взяли европейцы. В Европе эту систему стали
называть арабской.
Позиционная система — значение всех цифр зависит от позиции (разряда) данной цифры в числе.
Примеры, стандартная 10-я система счисления - это позиционная система. Допустим дано число 453.
Цифра 4 обозначает сотни и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению 50,
а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение.
Таким образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.
Двоичная система счисления.
Здесь только 2 цифры - это 0 и 1. Основание двоичной системы - число 2.
Цифра, которая находится с самого края справа, указывает количество единиц, вторая цифра -
Во всех разрядах возможна лишь одна цифра — или нуль, или единица.
С помощью двоичной системы счисления возможно закодировать всякое натуральное число, представив
это число в виде последовательности нулей и единиц.
Пример: 10112 = 1*2 3 + 0*2*2+1*2 1 +1*2 0 =1*8 + 1*2+1=1110
Двоичную систему счисления, как и десятичную систему счисления , зачастую используют в вычислительной
технике. Текст и числа компьютер хранит в своей памяти в двоичном коде и программным способом преобразует
в изображение на экране.
Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел.
Таблица сложения в двоичной системе счисления:
10 (перенос в старший разряд) |
Таблица вычитания в двоичной системе счисления:
(заём из старшего разряда) 1 |
Пример сложения «столбиком» (14 10 + 5 10 = 19 10 или 1110 2 + 101 2 = 10011 2):
+ | 1 | 1 | 1 | 0 | |
1 | 0 | 1 | |||
1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Таблица умножения в двоичной системе счисления:
Пример умножения «столбиком» (14 10 * 5 10 = 70 10 или 1110 2 * 101 2 = 1000110 2):
* | 1 | 1 | 1 | 0 | |||
1 | 0 | 1 | |||||
+ | 1 | 1 | 1 | 0 | |||
1 | 1 | 1 | 0 | ||||
= | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Преобразование чисел в двоичной системе счисления.
Для преобразования из двоичной системы в десятичную пользуются следующей таблицей степеней
основания 2:
Начиная с цифры один каждая цифра умножается на 2. Точка, стоящая после 1, называют двоичной точкой .
Преобразование двоичных чисел в десятичные.
Пусть, есть двоичное число 110001 2 . Для перевода в десятичное записываем его в виде суммы по
разрядам следующим образом:
1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49
Немного по другому:
1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49
Также хорошо записывать расчет как таблицу:
Двигаемся справа налево. Под всеми двоичными единицами записываем её эквивалент строчкой ниже.
Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные.
Задание: перевести число 1011010, 101 2 в десятичную систему.
Записываем заданное число в таком виде:
1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0 *2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 0 * 2 -2 + 1 * 2 -3 = 90,625
Другой вариант записи:
1*64+0*32+1*16+1*8+0*4+1*2+0*1+1*0,5+0*0,25+1*0,125 = 90,625
Либо в виде таблицы:
0.25 |
0.125 |
||||||||
0.125 |
Преобразование десятичных чисел в двоичные.
Пусть, необходимо перевести число 19 в двоичное. Можем сдеать это таким образом:
19 /2 = 9 с остатком 1
9 /2 = 4 c остатком 1
4 /2 = 2 без остатка 0
2 /2 = 1 без остатка 0
1 /2 = 0 с остатком 1
То есть, каждое частное делится на 2 и записывается остаток в конец двоичной записи. Деление
продолжается до того момента, когда в частном не будет нуля. Итог пишем справа налево. Т.е. нижняя
цифра (1) будет крайней левой и так далее. Итак, у нас получилось число 19 в двоичной записи: 10011.
Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные.
Когда в заданном числе присутствует целая часть, то ее преобразуют отдельно от дробной. Перевод
дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную происходит следующим образом:
разряда числа в двоичной системе счисления;
достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над
дробной частью произведения.
Пример : Нужно перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.
Переведя целую часть, получаем 206 10 =11001110 2 . Дробная часть 0,116 умножается на основание 2,
заносим целые части произведения в разряды после запятой:
0,116 . 2 = 0,232
0,232 . 2 = 0,464
0,464 . 2 = 0,928
0,928 . 2 = 1,856
0,856 . 2 = 1,712
0,712 . 2 = 1,424
0,424 . 2 = 0,848
0,848 . 2 = 1,696
0,696 . 2 = 1,392
0,392 . 2 = 0,784
Результат: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2
Алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую.
1. Из десятичной системы счисления:
2. Из двоичной системы счисления:
соответствующую степень разряда;
Двоичная система счисления сегодня используется практически во всех цифровых устройствах. Компьютеры, контроллеры и другие вычислительные устройства производят вычисления именно в двоичной системе. Цифровые устройства записи и воспроизведения звука, фото и видео хранят и обрабатывают сигналы в двоичной системе счисления. Передача информации по цифровым каналам связи также использует модель двоичной системы счисления.
Система носит такое название, потому что основанием системы является число два (2 ) или в двоичной системе 10 2 - это значит что для изображения чисел используется только две цифры "0" и "1". Двоечка записанная справа внизу от числа, здесь и далее будет обозначать основание системы счисления. Для десятичной системы основание обычно не указывают.
Ноль
- 0
;
Один
- 1
;
А что делать дальше? Все цифры кончились. Как же изобразить число два? В десятичной системе, в подобной ситуации (когда закончились цифры), мы вводили понятие десятка, здесь же мы вынуждены ввести понятие "двойка" и скажем, что два - это одна двойка и ноль единиц. А это уже можно и записать как - "10 2 ".
Итак, Два
- 10
2 (одна двойка, ноль единиц)
Три
- 11
2 (одна двойка, одна единица)
Четыре
- 100
2 (одна четверка, ноль двоек, ноль единиц)
Пять
- 101
2 (одна четверка, ноль двоек, одна единица)
Шесть
- 110
2 (одна четверка, одна двойка, ноль единиц)
Семь
- 111
2 (одна четверка, одна двойка, одна единица)
Возможности трех разрядов исчерпались, вводим более крупную единицу счета - восьмерку (осваиваем новый разряд).
Восемь
- 1000
2 (одна восьмерка, ноль четверок, ноль двоек, ноль единиц)
Девять
- 1001
2 (одна восьмерка, ноль четверок, ноль двоек, одна единица)
Десять
- 1010
2 (одна восьмерка, ноль четверок, одна двойка, ноль единиц)
...
и так далее...
...
Всегда, когда возможности задейсвованых разрядов, для отображения следующего числа, исчерпываются, мы вводим более крупные единицы счета, т.е. задействуем следующий разряд.
Рассмотрим число 1011 2 записанное в двоичной системе счисления. Про него можно сказать, что оно содержит: одну восьмерку, ноль четверок, одну двойку и одну единицу. И получить его значение через входящие в него цифры можно следующим образом.
1011 2 = 1 *8+0 *4+1 *2+1 *1, здесь и далее знак * (звездочка) означает умножение.
Но ряд чисел 8, 4, 2, 1 есть не что иное, как целые степени числа два (основания системы счисления) и поэтому можно записать:
1011 2 = 1 *2 3 +0 *2 2 +2 *2 1 +2 *2 0
Подобным образом для двоичной дроби (дробного числа) например: 0.101 2 (пять восьмых), про него можно сказать, что оно содержит: одну вторую, ноль четвертых и одну восьмую долю. И его значение можно вычислить следующим образом:
0.101 2 = 1 *(1/2) + 0 *(1/4) + 1 *(1/8)
И здесь ряд чисел 1/2; 1/4 и 1/8 есть не что иное, как целые степени числа два и мы также можем записать:
0.101 2 = 1 *2 -1 + 0 *2 -2 + 1 *2 -3
Для смешанного числа 110.101 аналогичным образом можем записать:
110.101 = 1 *2 2 +1 *2 1 +0 *2 0 +1 *2 -1 +0 *2 -2 +1 *2 -3
Давайте пронумеруем разряды целой части двоичного числа, справа налево, как 0,1,2…n (нумерация начинается с нуля!). А разряды дробной части, слева направо, как -1,-2,-3…-m. Тогда значение некоторого двоичного числа может быть вычислено по формуле:
N = d n 2 n +d n-1 2 n-1 +…+d 1 2 1 +d 0 2 0 +d -1 2 -1 +d -2 2 -2 +…+d -(m-1) 2 -(m-1) +d -m 2 -m
Где: n
- количество разрядов в целой части числа минус единица;
m
- количество разрядов в дробной части числа
d i
- цифра стоящая в i
-м разряде
Эта формула называется формулой разложения двоичного числа, т.е. числа записанного в двоичной системе счисления. Но если в этой формуле число два заменить на некоторое абстрактное q , то мы получим формулу разложения для числа записанного в q-й системе счисления:
N = d n q n +d n-1 q n-1 +…+d 1 q 1 +d 0 q 0 +d -1 q -1 +d -2 q -2 +…+d -(m-1) q -(m-1) +d -m q -m
С помощью этой формулы вы всегда сможете вычислить значение не только двоичного числа, но и числа записанного в любой другой позиционной системе счислени. О других системах счисления рекомендуем почитать следующие статьи.
rf-gk.ru - Портал для мам. Воспитание. Законы. Здоровье. Развитие. Семья. Беременность